Рисунок вектора с координатами

рисунок вектора с координатами  

Главная

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

 

 

7.1. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

,

,

Модуль скорости:

Ускорения точки:

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

 

 

7.2. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

,

,

Модуль скорости:

Ускорения точки:

,

,

Модуль полного ускорения:

Модуль касательного ускорения точки:

,

А модуль нормального ускорения:

.

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

.

 

 

7.3. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                                     ,

                                                                                                                     ,

Модуль скорости:

                                                                      .

Ускорения точки:

                                                                                                                        ,

                                                                                                                        ,

Модуль полного ускорения:

                                                                                                        .

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                      ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                                      .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                                 .

 

 

7.4. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                                          ,

                                                                                                                       ,

Модуль скорости:

                                                                             

Ускорения точки:

                                                                                                                           ,

                                                                                                                           ,

Модуль полного ускорения:

                                                                                                            

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                  ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                                    .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                                 .

 

 

7.5. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки по осям:

                                                                                                                 ,

                                                                                                                 ,

Модуль скорости:

                                                                                  

Ускорения точки по осям:

                                                                                                                   ,

                                                                                                                   ,

Модуль ускорения:

                                                                                   .

Модуль касательного ускорения точки:

, а модуль нормального ускорения .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением .

 

 

7.6. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки по осям:

                                                                                                     ,

                                                                                                          ,

Модуль скорости:

                                                                        

Ускорения точки по осям:

                                                                                                        ,

                                                                                                        ,

Модуль ускорения:

                                                                           .

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                                         ,

а модуль нормального ускорения:

                                                                         .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением .

 

 

7.7. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                    ,

                                                                                                    ,

Модуль скорости:

                                                          

Ускорения точки:

                                                                                                ,

                                                                                                ,

Модуль полного ускорения:

                                                              

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                                               ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                            .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                          .

 

 

7.8. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                                  ,

                                                                                                                  ,

Модуль скорости:

                                                       .

Ускорения точки:

                                                                                                                   ,

                                                                                                                    ,

Модуль полного ускорения:

                                                                                        .

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                        ,

А модуль нормального ускорения:

                                                              .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                         .

 

 

7.9. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , ,.

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                                       ,

                                                                                                                       ,

                                                                                                                      

Модуль скорости:

                                                         .

Ускорения точки:

                                                                                                                       ,

                                                                                                                       ,

                                                                                                                      

Модуль полного ускорения:

                                                                         .

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                          ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                         .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                              .

 

 

7.10. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                               ,

                                                                                                               ,

Модуль скорости:

                                                          

Ускорения точки:

                                                                                                              ,

                                                                                                              ,

Модуль полного ускорения:

                                                           

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                     ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                                      .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                                     .

 

 

7.11. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                                 ,

                                                                                                                 ,

Модуль скорости:

                                                                                

Ускорения точки:

                                                                                                                    ,

                                                                                                                    ,

Модуль полного ускорения:

                                                                                     

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                          ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                                         .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                                                 .

 

 

7.12. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                                     ,

                                                                                                                     ,

                                                                                                                    

Модуль скорости:

                                                                                    

Ускорения точки:

                                                                                                                       ,

                                                                                                                       ,

                                                                                                                      

Модуль полного ускорения:

                                                                                    

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                                                 ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                                      .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                                          .

 

 

7.13. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                                ,

                                                                                                                ,

Модуль скорости:

                                                                              

Ускорения точки:

                                                                                                                ,

                                                                                                                ,

Модуль полного ускорения:

                                                                                   

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                                      .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                                  .

 

 

7.14. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

Найти: , , .

Решение: Скорости точки по осям:

                                                                                                                         ,

                                                                                                                         ,

Модуль скорости:

                                                             ,

                                                                

Ускорения точки по осям:

                                                                                                                        ,

                                                                                                                        ,

Модуль ускорения:

                                                                                 

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                 ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                                       .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                                       .

 

 

7.15. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                                   ,

                                                                                                                   ,

Модуль скорости:

                                                                               

Ускорения точки:

                                                                                                             ,

                                                                                                            ,

Модуль полного ускорения:

                                                               

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                                                 ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                 .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                        .

 

 

7.16. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                             ,

                                                                                                            ,

Модуль скорости:

                                                                                

Ускорения точки:

                                                                                                          ,

                                                                                                          ,

Модуль полного ускорения:

                                                                   

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                                               ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                                 .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                                 .

 

 

7.17. Определить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: , , .

 

Решение: Скорости точки:

                                                                                                                     ,

                                                                                                                    ,

Модуль скорости:

                                                                         

Ускорения точки:

                                                                                                                      ,

                                                                                                                      ,

Модуль полного ускорения:

                                                                

Модуль касательного ускорения точки:

                                                                                                             ,

А модуль нормального ускорения:

                                                                                                 .

Нормальное ускорение и радиус кривизны траектории связаны соотношением:

                                                                                                                 .

 

7.18. Дан закон движения точки по окружности радиусом r. Определить:

1) скорость и ускорение точки при  и ;

2) моменты остановки точки;

3) путь, пройденный точкой за 10секунд.

Дано: , , , .

Найти: , , , , , , П.

Решение: 1. На траектории отметим точку О – начало отсчета координаты s и укажем положительное направление отсчета этой координаты. Отметим положение точки в заданные моменты времени: При :

;

При :

.

Проведем из этих точек естественные оси координат.

Определим проекцию скорости на касательную:

.

При : ;

При : .

Векторы  и  совпадают со своими проекциями. Определим проекции ускорения на естественнее оси координат:

; , Полное ускорение точки .

При :

,

 и

.

При :

,

 и

.

2. Чтобы найти время остановки надо найти время, когда скорость точки равна нулю:

, получим  и .

3. Поскольку за 10 секунд точка сделала две остановки, пройденный ею путь за 10с можно найти как сумму пути, пройденного от начала до первой остановки, от первой до второй остановки и от второй до момента времени :

,

где:

; ; ; .

Путь пройденный точкой за 10 секунд:

.

 

 

7.19. Определить скорость, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано:  ,                                           (1)

(x и y – в см, t и t1 – в с).

Найти:  1) вид траектории;

               2) для t=t1 положение точки на траектории;

               3) .

Решение: 1) Уравнение движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключаем время t из уравнений (1).

Возводя обе части равенств в квадрат, а затем складывая равенства, получаем , т.е. траекторией точки М является окружность радиуса 2, показанная на рис.1.

2) Определяем положение точки М в заданный момент времени t=1 с:

 

Вектор скорости точки

.              (2)

Вектор ускорения

              (3)

Здесь  – орты осей  и ;  – проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

,                                                    (4)

,

,

               и модуль ускорения точки:

,                                                    (5)

Модуль касательного ускорения точки 

,                                                               (6)

или 

;                                              (7)

 выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при  означает, что движение точки ускоренное, направление  и  совпадают; знак «–» – что движение замедленное.

Вычисляем модуль касательного ускорения для заданного момента времени

Модуль нормального ускорения точки

.                                                        (8)

Если радиус кривизны траектории  в рассматриваемой точке неизвестен, то нормальное ускорение можно определить по формуле

.                                                  (9)

При движении точки в плоскости формула (9) принимает вид

.

Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:

.                                                  (10)

Воспользуемся в нашем случае формулой (10)

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим из выражения:

.                                                          (11)

                Тогда

На рис. 1 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор  строим по составляющим  и , причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор  строим по составляющим  и  и затем раскладываем на составляющие  и . Совпадение величин  и , найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

 

 

7.20. Определить скорость, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории точки для заданного момента времени.

Дано: х=3t, у =4t2 –1

           (x и y – в см, t и t1 – в с).

Найти:  1) вид траектории;

               2) .

Указания. Задача - относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения. В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 =1 с.

 

 

Решение:

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t:

t= х/3,

у = 4/3)2 – 1.

Отсюда окончательно находим уравнение траектории точки (параболы, см. рисунок):

y = 4/9 х2 – 1.

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

Vx = dx/dt =3,

Vy =dy/dt =8t,

V = и при t1 = 1 с,

V1х = 3 см/с,

V1у =8 см/с,

                                                                V1 =8,54 см/с.                                                         (1)

3. Аналогично найдем ускорение точки:

ах =dVx/dt =0,

аy =dVy/dt =8,

а =

и при t1 = 1 с

                                                                                                                а1х=0; а1у =8 см/с2;

                                                                                                                 а1=8 см/с2.                                                         (2)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:

V2 =Vx2 + Vy2.

Получим: 2V dV/dt =2Vx dVx/dt +2Vy dVy/dt,

откуда:

.                      (3)

числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (3), определены и даются равенствами (1) и (2).

Подставив в (3) эти числа, найдем сразу, что при t1 = 1 с

 =7,49 см/с2.

5. Нормальное ускорение точки:

an =.

Подставляя сюда найденные числовые значения a1 и a1τ, получим, что при t1= 1 с

a1n =2, 81 см/с2.

6. Радиус кривизны траектории ρ = V2/an.

Подставляя сюда числовые значения V1 и a1n, найдем, что при t1 = 1 с

ρ1 =25,95 см.

Ответ: V1= 8,54 см/с, а1 =8 см/с2, =7,49 см/с2, a1n =2,81 см/с2, ρ1 =25,95 см.

 

 

7.21. Точка движется по дуге окружности радиуса R =1 м по закону  (s – в метрах, t – в секундах), где s = AM (см. рисунок).

Найти:  скорость и ускорение точки в момент времени t1 =1 с.

 

Решение:

Определяем скорость точки:

          V =ds/dt =.

При t1 =1 с получим = -1,26 м/с.

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

          ,

an =V2/ρ = V2/R.

при t1 = 1 с получим, учтя, что R = 1 м

          ,

a1n =1,59 м/с2,

тогда ускорение точки при t1 =1 с будет:

            =1,59 м/с2.

Изобразим на рисунке векторы , , учитывая знак V1 и считая положительным направление от А к М.

 

 

7.22. По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t=t1(с) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.

Дано:  ,       ,     t1=1 сек  (x и y – в см, t и t1 – в с).

Найти:  1) вид траектории;

               2) .

 

Решение:

1)   Найдём траекторию движения:

Для этого исключим параметр t.

                     

 Возведём во вторую степень, получившиеся уравнения, а затем сложим, таким образом, исключится t. Получим:

Это окружность с центром в точке с координатами (-1;0) и радиусом

2)  Найдём положение точки на траектории в момент времени t=t1:

3)    Определим скорость токи:

По оси Ox:

для момента времени t=t1:

По оси Oy:

для момента времени t=t1:

Для нахождения вектора полной скорости необходимо сложить 2 вектора: 

Найдём модуль полной скорости:

для момента времени t1:

4)    Определим ускорение точки:

По оси Ox:

для момента времени t1:

По оси Oy:

для момента времени t1:

Найдём полное ускорение:

Найдём модуль полного ускорения:

для момента времени t1:

Определим касательное ускорение :

  или,

для момента времени t:

Определим нормальное ускорение an:

для момента времени t1:

         5) Из полученных результатов можно найти радиус кривизны траектории , в момент времени t1:

Действительно, этот радиус совпадает с радиусом окружности (траектории).     

 

 

7.23. Точка М движется согласно уравнений ; (x, y - в метрах, t - в секундах). Определить уравнение траектории точки, для момента времени t =1с, найти положение точки, а также скорость, полное, касательное, нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории.

 

Решение:

1) Найдем уравнение  траектории точки. Для определения уравнения траектории исключим из уравнений движения время . Из первого уравнения движения точки найдем

Из второго уравнения движения найдем

Возведя полученные значения ( правую и левую стороны уравнения ) в квадрат и складывая их находим:

.

Следовательно, траекторией точки является эллипс с центром в точке с координатами (3;1).

Вид траектории показан на рисунке.

 

2) Найдем положение точки в момент времени t=1с

;  .

Положение точки М1  показано на рисунке.

3) Найдем скорость точки М

,

Где , или в момент времени t1=1c        

, или в момент времени t1=1c                  

Следовательно

4) Найдём ускорение точки.

,

где , или ,

, или

Следовательно

5) Найдем касательное ускорение точки M,

6) Найдём нормальное ускорение точки M,

7) Найдем радиус кривизны траектории точки М,

 ,

Направление векторов показано на рисунке.

Ответ: =7.85м/c; = 4.93 м/c2; =0; = 4.93 м/c2;  м

 

7.24. Пусть точка М движется в плоскости xOy в соответствии с уравнениями . Для момента времени = 0,5 с найти положение точки М на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

 

Решение: Заданный закон движения точки в координатной форме можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Исключим время t из уравнений движения и получим уравнение траектории точки в виде:

.

Таким образом, траекторией точки М является эллипс со смещенным центром, изображенный на рис. Отметим на траектории положение точки М1 (x1, y1) в момент времени t1 = 0,5 c

;

.

Вектор скорости точки представим в виде:

,

где  – орты координатных осей Оx и Оy;  – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от соответствующих координат по времени

 

В момент времени t1 = 0,5 c

Вектор скорости точки  строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям  и  в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Модуль скорости точки определим по уже найденным проекциям

Вектор ускорения точки представим в виде:

,

где  – орты координатных осей Оx и Оy;  – проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от проекций вектора скорости или 2-м производным от соответствующих координат по времени:

В момент времени t1 = 0,5 c

Вектор ускорения точки  строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям  и  в соответствии с выбранным масштабом

.

Полученный вектор ускорения точки в общем случае должен отклоняться от вектора скорости в сторону вогнутости траектории, а при движении по эллипсовидной траектории – проходить через центр эллипса. Модуль ускорения точки определим по уже найденным проекциям

Вектор полного ускорения точки можно также представить в виде геометрической суммы его проекций на оси естественной системы отсчета

,

где и  – единичные орты касательной и главной нормали;  и  – соответственно проекции вектора ускорения на касательную и главную нормаль. Касательную М1t направляем по касательной к траектории в сторону движения точки движения, а главную нормаль М1n – перпендикулярно касательной в сторону вогнутости траектории. При вычислении касательного ускорения удобно воспользоваться формулой, устанавливающей связь между координатным и естественным способами задания движения точки

.

В момент времени t1 = 0,5 c

.

Значение касательного ускорения  имеет отрицательный знак, следовательно, в данный момент времени движение точки замедленное и вектор касательного ускорения  направлен в противоположную сторону направлению вектора скорости точки .

Нормальное ускорение  вычислим по формуле , если известен радиус кривизны траектории. Например, если точка движется по окружности радиусом R, то в любой точке траектории . Если же траекторией движения точки является прямая, то , следовательно, . В данном случае радиус кривизны траектории заранее не известен, поэтому нормальное ускорение определяем по формуле:

.

В момент времени t1 = 0,5 c

.

Построим векторы  и  в соответствии с уже выбранным масштабом, а затем сложим их геометрически. В результате получим тот же вектор полного ускорения точки , который ранее уже был получен геометрической суммой составляющих  и . Этот факт служит контролем правильности решения.

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим по формуле

.

В момент времени t1 = 0,5 c

.

Ответ: =8,82 см; =2,59 см; =4,44 см/c; =2,22 см/c;  =4,96 см/с;  =6,97 см/с2; =3,49 см/с2; =7,79 см/с2; =4,67 см/с2;  =6,23 см/с2; =3,95 см (радиус кривизны траектории в точке ).

email:

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Строительная механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Геометрические и кинематические характеристики механизмов Hp pavilion узор


Рисунок вектора с координатами Рисунок вектора с координатами Рисунок вектора с координатами Рисунок вектора с координатами Рисунок вектора с координатами Рисунок вектора с координатами Рисунок вектора с координатами Рисунок вектора с координатами Рисунок вектора с координатами